a: Xét (O) có

MT,MA là tiếp tuyến

=>MT=MA và MO là phân giác của \(\widehat{TMA}\)

=>\(\widehat{TMA}=2\cdot\widehat{OMA}\)

Xét (O') có

MA,MT' là tiếp tuyến

=>MA=MT' và MO' là phân giác của góc \(\widehat{T'MA}\)

=>\(\widehat{T'MA}=2\cdot\widehat{AMO}\)

MA=MT'

MA=MT

Do đó: MT=MT'

=>M là trung điểm của TT'

b:

\(MA=MT\)

\(TM=\dfrac{TT'}{2}\)

Do đó: \(MA=\dfrac{TT'}{2}\)

Xét ΔATT' có

AM là đường trung tuyến

\(AM=\dfrac{TT'}{2}\)

Do đó: ΔATT' vuông tại A

c: \(\widehat{TMA}+\widehat{T'MA}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{OMA}+2\cdot\widehat{O'MA}=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{OMO'}=180^0\)

=>\(\widehat{OMO'}=90^0\)

=>ΔMO'O vuông tại M

d: Vì M là trung điểm của TT'

nên M là tâm đường tròn đường kính TT'

Xét (M) có

MA là bán kính

O'O\(\perp\)MA tại A

DO đó: OO' tiếp xúc với đường tròn đường kính TT' tại A

a: Xét (O) có

KM,KA là các tiếp tuyến

Do đó: KM=KA(1)

Xét (O') có

KA,KN là các tiếp tuyến

Do đó: KA=KN(2)

Từ (1) và (2) suy ra KM=KN

mà M,K,N thẳng hàng

nên K là trung điểm của MN

Xét ΔAMN có

AK là đường trung tuyến

\(AK=\dfrac{MN}{2}\left(=MK\right)\)

Do đó: ΔAMN vuông tại A

a)     Xét (O): AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I (gt)

=> AI = DI (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)

CMTT: AI = EI  (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> AI = EI = DI

Mà  DE = EI + DI

=>AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)

Xét tam giác ADE có: AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)

=> Tam giác ADE vuông tại A (định lý đảo đường trung tuyến trong tam giác vuông)

=> ^MAN = 90^o

Xét tam giác AID: AI = DI (cmt) => Tam giác AID cân tại I 

Mà IM là đường phân giác AID (AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I)

=>  IM là đường cao

=> ^IMA = 90^o

CMTT: ^ANI = 90^o

Xét TG AMIN:

 ^IMA = 90^o (cmt)

^ANI = 90^o (cmt)

^MAN = 90^o (cmt)

=> AMIN là hình chữ nhật (dhnb)

b) Xét tam giác OAI vuông tại A, AM là đường cao ( do AM vg góc OI)

=> IM.IO = IA² (HTL) (1)

Xét tam giác O'AI vuông tại A, AN là đường cao ( do AN vg góc O'I)

=> IN.IO' = IA² (HTL) (2)

Từ (1) và (2) => IM.IO = IN.IO’ (đpcm)

c) Xét (O) và (O'): 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A (cmt)

=> A \(\in\)OO' (TC đường nối tâm)

mà IA vg góc AO (do AI là tiếp tuyến trong của 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A )

=> OO' vg góc AI tại A  (*)

Xét tam giác ADE vuông tại A (^DAE = 90^o do AMIN là hcn)

I là TĐ của DE (do ID = IE = \(\dfrac{DE}{2}\))

=> I là tâm đường tròn đường kính DE, nội tiếp tam giác ADE  

=> A \(\in\)(I) (**)

Từ (*) và (**) => OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE có A là tiếp điểm.

d) Xét tg OIO' vuông tại I, AI là đường cao:

AI² = AO . AO' (HTL)

=> AI²= R. R'

Mà AI = \(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)

=> (\(\dfrac{DE}{2}\))² = R . R'

<=> \(\dfrac{DE^2}{4}\) = R . R'

<=> DE = 2\(\sqrt{R.R'}\)

a: Xét (O) có

MB,MA là tiếp tuyến

nên MB=MA

Xét (O') cos

MA,MC là tiếp tuyến

nên MA=MC=>MA=BC/2

Xét ΔABC có

AM la trung tuyến

AM=BC/2

Do đó; ΔABC vuông tại A

b: Gọi H là trung điểm của OO'

Xét hình thang OBCO' có

M,H lần lượt là trung điểm của BC,OO'

nên MH là đường trung bình

=>MH//BO//CO'

=>MH vuông góc với BC

=>BC là tiếp tuyến của (H)